МГУ имени М.В.Ломоносова
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
 

 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ 


Experimental data
 
 


background

    Все новости.


      новое - от  17.10.2017 :

Численные методы в практике экспериментатора

Отыскание глобального минимума потенциала Морзе атомного кластера.

         Подавляющее число задач обработки данных эксперимента (также и численного моделирования) требуют применения методов минимизации. Так, например, в методе МНК наименьшая невязка данных теоретической модели и данных эксперимента обеспечивает наилучшие значения искомых параметров. Целый класс задач, моделирующих динамические процессы, требуют также поиска оптимальных значений параметров модели, исходя из принципа минимума потенциальной энергии. При этом, достижение глобального минимума является принципиальным.

         Для этих целей разработан и апробирован алгоритм поиска глобального минимума функции многих переменных, когда число локальных минимумов конечно. Этому условию удовлетворяют все практические задачи, т.к. маловероятно, чтобы модель отвечающая реальному физическому процессу имела бесконечно много локально устойчивых состояний.

         В работах [1-10] дано обоснование метода, приведены тестовые примеры ([7,9]) и практическое применение. Тестовые примеры и демо-версию программы можно посмотреть здесь. Суть алгоритма сводится к построению стратегии выхода из точки локального минимума (куда легко попадаем посредством стандартной программы) в область притяжения другой точки локального минимума со значением функции меньшим, чем в предыдущей. На рис. показан разрез многомерной функции по координате (любой) в точке локального минимума. Для выхода в другую область притяжения находится любое решение нелинейного уравнения, отличающееся от текущей точки локального минимума (пересечение n-мерного параболоида с исходной функцией).

         Приведем эффективность работы алгоритма на примере определения оптимальной конфигурации атомного кластера. Под оптимальной конфигурацией будем понимать ту, которая дает минимум потенциала Морзе. Обоснование потенциала для двуатомной молекулы дано в [11]. Можно также рассматривать потенциалы Леннарда-Джонса, Дзугутова, Сазерленда (Sutherland), Букингема(Buckingham) или любого потенциала парного взаимодействия. Для программы это будет только изменением задания функции.

         В нашем случае, выражение потенциала Морзе(безразмерное)для n атомов, согласно [12], рассматривалось как:


         Далее, искался глобальный минимум по координатам n атомов:

         Значение параметра задается исходя из сорта атома. Задача состоит в определении декартовых координат n атомов(всего 3n параметров), доставляющих глобальный минимум. Сложность задачи заключается в наличии очень большого количества точек локальных минимумов и незначительного отличия между собой соответствующих значений функции. Это обусловлено тем, что значение функции не меняется при трансляции и вращении всей конфигурации кластера как целого.

         Для сравнения получаемых результатов рассматривались данные Cambridge Cluster Database (посмотреть). Так для числа атомов n=80 и =3 в этой таблице приведено значение потенциала: -690.577890 . У нас получилось значение: -690.588928 . Указанная таблица заканчивается при n=147 . Для n=148 у нас получилось значение: -1544.389404 ( =3). Глобальный минимум находился за считанные минуты (cчет проводился на ПК с частотой процессора 2.94GHz), при этом, основное время уходило на поиск более меньшего значения функции, которого уже не существовало.
Полученные нами координаты атомов можно скачать здесь(для n=148) и здесь(для n=80).
Значения координат для n=80 из Cambridge Cluster Database можно посмотреть здесь(=3).

         Будем признательны за новые постановки практических проблемных задач минимизации с большим количеством переменных.

Литература.
  1. Деянов Р.З.,Жидков Н.П.,Щедрин Б.М. Уточнение параметров решетки поликристалла методом наименьших квадратов.
    Сб. “Математические вопросы структурного анализа”. Изд-во МГУ, стр. 19-26, 1979г.
  2. Деянов Р.З., Кошелева Н.Е. Увязка русловых водных балансов нескольких участков речной системы методом максимального правдоподобия.
    Вестник МГУ; серия География Деп. №2855-80, изд. МГУ, 1980г.
  3. Деянов Р.З.,Щедрин Б.М. Автоматизированная процедура поиска структурных параметров молекулы в методе газовой электронографии.
    Тезисы докл. VI Всесоюзной конф. «Использование вычислительных машин в спектроскопии молекул и химических исследованиях», Новосибирск, с.254-255, 1983г.
  4. Деянов Р.З. Программа глобальной минимизации R-фактора в методе газовой электронографии.
    Алгоритмы и программы. Инф. Бюллетень ВНИЦТИ П006154 N3(54), с.50,1983г.
  5. Деянов Р.З.,Щедрин Б.М.Модифицированный метод Ньютона (анализ знаков собственных значений гессиана без решения проблемы собственных значений).
    Алгоритмы и программы. Инф. Бюллетень ВНИЦТИ П006175 N3(54), с.24,1983г.
  6. Деянов Р.З.,Дрябжинская Е.Н, Жидков Н.П.,Щедрин Б.М. Пакет программ глобальной минимизации функции одной переменной.
    Алгоритмы и программы. Инф. Бюллетень ВНИЦТИ П006176 N3(54), с.50,1983г.
  7. Деянов Р.З.,Щедрин Б.М. Поиск глобального минимума функции нескольких переменных заданной на компакте.
    Сб. «Библиотека программ по структурному анализу», изд-во МГУ, с.133-140, 1984г.
  8. Деянов Р.З. Автоматизация процесса расшифровки строения молекул. Введение нового критерия выделения линии фона и поиска глобального минимума R-фактора.
    «Материалы конф. молодых ученых химического ф-та МГУ, Москва, 25-28 янв., 1983г.», ВИНИТИ ЦИОНТ, Депонент N7085-83, с.116-119, 1983г.
  9. Деянов Р.З.,Щедрин Б.М. Алгоритм последовательного спуска по системе локальных минимумов.
    Прикладная математика и информатика № 30 , М.: Изд-во факультета ВМиК МГУ, с.46-54, 2008.
    (см. здесь  (формат .pdf , 191kb)).

    A SUCCESSIVE DESCENT ALGORITHM OVER A SYSTEM OF LOCAL MINIMA.Computational Mathematics and Modeling, Vol. 20, No. 3, pp.278-285, 2009; со-author - B. M. Shchedrin.
    (см. здесь  (формат .pdf , 1061kb)).

  10. Деянов Р.З.,Щедрин Б.М. Метод отыскания глобального минимума.
    VI Национальная конференция «Рентгеновское, Синхротронное излучения, Нейтроны и Электроны для исследования наносистем и материалов» РСНЭ-НБИК 2009, Тезисы докладов, с.458.
  11. P.M.Morse, Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels. Phys. Rev. 1929, 34, 57-64.
  12. J.P.K.Doye, D.J.Wales. Structural Consequences of the Range of the Interatomic Potential: a Menagerie of Clusters. J. Chem. Soc., Faraday Trans., 93, 4233, 1997.





opening 15.11.2009    © math-lab.ru    All rights reserved.

  Яндекс цитирования
  Rambler's Top100
 
  Яндекс.Метрика
  Locations of visitors to this page