МГУ имени М.В.Ломоносова
Московский государственный университет
имени М.В.Ломоносова
 

 ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ 


Experimental data
 
 


background

    Все новости.


      новое - от  19.08.2017 :

Численные методы в практике экспериментатора

Задача Томсона
и критерий равномерности расположения точек на сфере.

             Английский физик Джозеф Джон Томсон(J.J. Thomson, 18.12.1856 - 30.08.1940), лауреат Нобелевской премии 1906г. (за экспериментальное открытие электронов), был профессором и руководителем Cavendish Laboratory (Cambridge). Семеро его учеников стали лауреатами Нобелевской премии; его сын - Джордж П. Томсон(George Paget Thomson; 3.05.1892 — 10.09.1975), также лауреат Нобелевской премии по физике 1937 года(«за экспериментальное открытие дифракции электронов на кристаллах», совместно с Джозефом Дэвиссоном).

           В начале 20-го века Дж.Дж.Томсон поставил задачу экспериментально определить конфигурацию расположения равных зарядов на поверхности шара[1]. Впоследствии эта задача так и называлась - Задача Томсона. Силы отталкивания, действующие на заряды, разводят их максимально друг от друга, пока результирующая сила(действующая на каждый заряд) не становится перпендикулярной поверхности шара.
           Для небольшого числа зарядов им были получены конфигурации классических фигур: тетраэдр(N=4), октаэдр(N=6), икосаэдр(N=12). Но, для N=5 было получено несколько устойчивых конфигураций с различными потенциалами (соответствовали локальным минимумам).
           При этом, оставался открытым вопрос насколько полученные конфигурации отвечали оптимальному(т.е. глобальному) значению потенциала, т.к. при отсутствии внешнего воздействия заряды могут занять устойчивую конфигурацию далекую от оптимальной. Простой пример для N=5 : рассмотрим конфигурацию когда вершины правильного пятиугольника вписаны в большую окружность - в этом случае все силы находятся только в плоскости этой окружности и заряды не выйдут из этой плоскости. Собственно, подобная конфигурация - правильный многоугольник, вписанный в большую окружность, подходит для любого N>3.
           Для случаев N=3,4 можно доказать методами элементарной математики оптимальность соответствующих фигур: правильный треугольник, октаэдр. Далее всё уже гораздо сложнее. Желающие могут ознакомиться с работами [2-9]. Доказательство оптимальности найденной конфигурации для N=5 можно скачать здесь, для N=6 (октаэдр),12 (икосаэдр) - здесь, и для N=120 (4-х мерное пространство) - здесь. Буду крайне благодарен, если кто пришлет новые ссылки для других N.
           Это всё имеет отношение к теоретическому обоснованию оптимальности той или иной конфигурации (возможна и неединственность решения). В этом смысле эта задача эквивалентна определению минимума(глобального) потенциальной энергии равных зарядов, расположенных на поверхности шара(при отсуствии внешних воздействий, трения, и т.д.):

задача Томсона
где задача Томсона радиус-вектора зарядов(рассматриваются единичные заряды и вектора с единичной длиной).
           Стало быть, данную задачу можно рассматривать с позиции численных методов, именно, методов минимизации функции многих переменных с нелинейными ограничениями(нормы векторов равны 1). И при принципиальном условии - минимум должен находиться глобальный.
           В данном направлении есть следующие результаты:
1. на страничке википедии http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson_problem приведены данные для 2 ≤ N ≤ 204, далее для N=212, 214, 216, 217, 232, 255-257, 272, 282, 292, 306, 312, 315, 317, 318, 334, 348, 357, 358, 372, 382, 390, 392, 400, 402, 432, 448, 460, 468, 470.
2. работа [10], данные см. на страничке The Cambridge Cluster Database:
http://www-wales.ch.cam.ac.uk/~wales/CCD/Thomson/table.html
Здесь уже посчитано без пропусков для 10 ≤ N ≤ 400, и далее для N= 432, 482, 492, 522, 572, 612, 632, 642, 672, 732, 752, 762, 792, 812, 842, 912, 932, 972.
Обращает на себя внимание нерегулярность значений N, отсутствие нечетных значений(в последнем случае), отсутствие результатов для N > 972.

           Очевидно, задачу Томсона можно рассматривать не только на 3-х мерной сфере, но, и в общем n-мерном случае. При этом, вопрос доказательства оптимальности конфигурации становится проблемой уже для небольших размерностей и небольшого количества зарядов. Хотя, для 24-х мерного случая есть строгое доказательство оптимальности конфигурации для N=196560. В этом плане, возрастает актуальность нахождения глобального минимума численными методами, т.к. при этом увеличении размерности сферы и количества зарядов принципиально в меньшей мере.
           Отметим, что задача Томсона имеет практическое приложение, в частности, в теориях кодирования(сферический код) и передачи сигналов.

           Целью нашей странички является:
а) представление результатов работы нашей программы глобальной минимизации для сопоставления потенциалов с 1.,2. и получения данных для N не представленных в 1.,2. Желающие могут легко проверить полученные потенциалы по представленным координатам зарядов. Полученные результаты см. в табл.
b) введение критерия равномерности расположения точек на сфере.

           По пункту b) предлагается критерий равномерности расположения точек на сфере(также и n-мерной) как
соотношение потенциалов оптимальной и испытуемой конфигураций (например, датчиком случайных чисел или неким алгоритмом):

задача Томсона
где задача Томсона - потенциал оптимальной конфигурации, задача Томсона - потенциал предлагаемой конфигурации.
           Таким образом, для двух различных конфигураций, заряды(точки) равномернее распределены у той, у которой больше значение критерия. Очевидно, значение критерия больше 0 и не больше 1.
Также, очевидно, что данный критерий эквивалентен следующему:
точки на сфере распределены равномернее у той конфигурации, у которой меньше значение потенциала.

          new! Конечно, хотелось бы покрыть поверхность сферы точками равномерно так, чтобы были равны между собой все дуги(или отрезки) между соседними точками (под соседними 3-мя точками можно понимать(не строго) такие точки, для которых сферический треугольник составленный по ним, не имеет других точек). Такие конфигурации есть - это правильные многогранники: тетраэдр(пирамида; 4-е вершины, 4-е грани из правильных треугольников), гексаэдр(куб; 8-мь вершин, 6-ть граней из правильных четырехугольников), октаэдр(двойная пирамида с зеркальным отражением; 6-ть вершин, 8-мь граней из правильных треугольников), додекаэдр(20-ть вершин, 12-ть граней из правильных пятиугольников), икосаэдр(12-ть вершин, 20-ть граней из правильных треугольников). Многогранник называется правильным, если :

  • он выпуклый
  • все его грани являются равными правильными многоугольниками
  • в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер

           Известно, что других правильных многогранников, кроме указанных - тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра, - нет. Это следует из теоремы Эйлера о соотношении вершин, ребер и граней выпуклых многогранников. В частности, построить многогранник(с вершинами на сфере) состоящий только из правильных треугольников (для N > 4), или правильных 5-ти угольников(для N > 20), или правильных 6-ти угольников невозможно. А вот, комбинации правильных 5-ти и 6-ти угольников как раз дают оптимальные конфигурации для больших N. Кстати, фуллерен С60(рис. слева) аккурат соткан из 20-ти шестиугольников и 12-ти пятиугольников. Являются ли эти многоугольники правильными? Сомневаюсь; всё-таки там связи между углеродами не эквивалентные. А вот "идеальный" футбольный мяч состоит как-раз из правильных 20-ти шестиугольников и 12-ти пятиугольников (не удержался: взял свой любимый потрепанный мяч и пересчитал - всё именно так).
Ну, чтобы народ не повторял моих экспериментов, приведем следствие теоремы Эйлера :
необходимым условием существования многогранника собранного из (правильных ?) пятиугольников и шестиугольников является наличие ровно 12-ти пятиугольных граней и ( N/ 2 − 10 ) шестиугольных граней.
Если вернутся к нашей задаче определения оптимальной конфигурации для N=60, то мы получим(как в 1.,2., так и по нашим координатам точек) конфигурацию из шестиугольников и пятиугольников (см. рис. справа ) со значением потенциала U=1543.830401.
Будет ли эта конфигурация именно из 20-ти шестиугольников и 12-ти пятиугольников сказать затрудняюсь.

 
     

          Интересным является факт, что если, как было уже указано выше, правильные многогранники - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, - являются оптимальными конфигурациями и дают глобальный минимум, то, такие правильные многогранники как куб и додекаэдр таковыми(т.е. оптимальными в смысле минимума потенциала) не являются. Это не сложно показать для куба.
Для куба: , в то время, по 1.,2. и найденным нашим координатам:
U = 19.67528, что существенно меньше. Соответствующее изображение можно посмотреть здесь(автор - Козинкин Л.А.).
Аналогично можно показать,что и додекаэдр не отвечает оптимальности конфигурации (но, уже не вручную).
   Приведем изображения додекаэдра(слева) и оптимальной конфигурации(справа).
В оптимальной конфигурации имеются два симметричных шестиугольника. Подробнее можно посмотреть здесь.
 

Счет

          Для начала представим полученные результаты для 2 ≤ N ≤ 300 в трёхмерном пространстве(скачать в формате - .txt, или в формате .zip ) - это просто демонстрация работы программы в одном прогоне(т.е. сразу для всех N). Время счета составило порядка 28мин. (процессор - 2.94GHz, алгоритм без распараллеливания). Полученные координаты конфигураций можно скачать либо по-отдельности для конкретного N здесь(в формате .txt), либо в формате .zip (1.4mb) сразу для всех N здесь - это для проверки полученных значений потенциалов.
Ну..., если кому интересно, можно погонять задачу с использованием распараллеливания для еще бОльших размерностей и количества зарядов, пишите. Пока для себя планирую отработать N=1000 зарядов для трёхмерного (хотя бы для спортивного интереса).

          Уверен, задача минимизации парных потенциалов имеет приложение в различных областях.

Заключение

           С задачей Томсона я познакомился буквально месяц назад(в противовес жаре и дыму июля хотелось чего-то красивого и освежающего), сразу накатал программку, начал гонять ее и убедился(предполагал изначально), что минимизируемая функция многоэкстремальна, функция имеет и овраги, и вырожденности("дно корыта"). Поэтому, так вот сходу посчитать оптимальную конфигурацию для 1000 зарядов (чего нет в 1.,2.) пока не удалось. Надеюсь, это вопрос времени. Ессно, прога еще не отшлифована (у 1.,2. значения потенциалов на самую капельку получше - на тысячные-десятитысячные доли процентов... - возможно, это издержки разрядности ноутбука, или, скорее всего, менее строгий критерий останова; в принципе, градиентик можно было дожать и до 4-5-го знака). Ну, а материал спешил выложить к 30авг.(2010г.), дню памяти Дж.Дж.Томсона.
          Надо отдавать отчет, что достоверность приведенных данных как у нас, так и в 1.,2. определяется надежностью соответствующих программ находить глобальный минимум. Здесь необходимо выделять два аспекта: 1) наличие теоретического обоснования, что метод находит глобальный минимум; 2) надежность программной реализации теории. Так например, методы использующие случайный поиск, как правило, имеют в лучшем случае вероятностную оценку сходимости. Далее, даже если для иного метода есть теоретическое обоснование, то не факт, что он программно реализуем для функций большого числа переменных, как например, при использовании интервального анализа.
           Поэтому, вы можете попытать удачу в поиске более глубоких минимумов, чем приведены здесь и в литературе. Ессно, за исключением тех случаев, когда известно строгое математическое доказательство оптимальности конфигурации и соответствующих значений потенциалов. В частности, приведем доказанные оптимальные значения потенциалов для числа зарядов 6 и 12 ([5]):


- здесь удвоенные значения потенциалов.

          Насколько мне известно, для трёхмерного пространства задача решена только для N = 2, 3, 4, 6, 12.

Благодарность

           Интерес к задаче Томсона у меня возник благодаря замечательному фильму "Математические этюды"(идея фильма - Н.Андреев, В.Юдин; компьютерная графика - М.Калиниченко) - рекомендую посмотреть, получите эстетическое удовольствие. Фильм можно скачать на таком же замечательном(как и фильм) сайте etudes.ru, или здесь(37.4мб).
           Стало быть, благодарю и создателей фильма, и создателей вышеупомянутого сайта.

Литература

1. J.J.Thomson. On the Structure of the Atom: an Investigation of the Stability and Periods of Oscillation of a number of Corpuscles arranged at equal intervals around the Circumference of a Circle; with Application of the Results to the Theory of Atomic Structure.
Philosophical Magazine Series 6, Volume 7, Number 39, pp. 237-265, March 1904
2. L.L.Whyte. Unique arrangements of points on a sphere
// The Amer. Math. Monthly. 1952. V.59, N 9. pp. 606-611.
3. В.А.Юдин. Минимум потенциальной энергии точечной системы зарядов
// Дискретная математика. 1992. Т. 4, вып. 2. с. 115-121.
4. N.N. Andreev. One extremal property of the icosahedron
// East Journal on Approximation. 1996. V. 2, N 4. pp.301-304.
5. Н.Н. Андреев, В.А. Юдин. Экстремальные расположения точек на сфере
//Математическое просвещение (третья серия). 1997. Вып. 1. с. 115-125.
6. А.В.Колушов, В.А.Юдин. О конструкции Коркина-Золотарева
// Дискретная математика. 1994. Т. 6, вып. 1. c. 155-157.
7. A.V.Kolushov, V.A.Youdin. Extremal dispositions of points on a unit sphere
//Analysis Mathematica. 1997. V. 23, N° 1.
8. Н.Н.Андреев. Расположение точек на сфере с минимальной энергией
//Труды Математического института им. В.Л. Стеклова РАН. 1997. Т. 219. c. 27-31.
9. Н.Н. Андреев. Минимальный дизайн 11 порядка на трехмерной сфере
//Математические заметки. 2000. Т. 67. № 4. c. 489-497.
10. David J. Wales and Sidika Ulker. Structure and Dynamics of Spherical Crystals Characterised for the Thomson Problem
Phys. Rev. B, 74, 212101 (2006).

Табл. Значения потенциалов для 2≤N≤300. Координаты конфигураций здесь.


N U норма
градиента
норма
суммы векторов
наименьший
угол (град.)




2 0.5000000 0.4277E-16 0.000000000 180.0000
3 1.7320514 9.22E-04 0.001637046 119.9405
4 3.6742348 5.05E-04 0.000715271 109.4509
5 6.4746915 1.03E-04 0.000038011 89.9923
6 9.9852815 5.26E-04 0.000537998 89.9827
7 14.4530101 9.53E-04 0.00056879 72.0203
8 19.6752889 9.85E-04 0.000340209 71.6685
9 25.7599883 9.87E-04 0.000370363 69.1334
10 32.7169498 8.76E-04 0.000231102 64.9705
11 40.596451 7.30E-04 0.0132243 58.5353
12 49.1652536 8.05E-04 0.00006276 63.41
13 58.8532313 8.88E-04 0.008905004 52.3124
14 69.3063635 7.55E-04 0.000107352 52.8585
15 80.6702446 8.47E-04 0.000029167 49.2135
16 92.9116556 9.81E-04 0.000100813 48.9326
17 106.0504053 7.99E-04 0.000033335 50.09
18 120.0844679 7.53E-04 0.000040065 47.5223
19 135.0894839 8.65E-04 0.000254218 44.926
20 150.8815687 7.19E-04 0.000014886 46.0825
21 167.6416268 9.22E-04 0.001445055 44.2807
22 185.2875367 7.73E-04 0.000079919 43.297
23 203.9301908 9.92E-04 0.000116029 41.4772
24 223.3470744 7.79E-04 0.000117158 42.0549
25 243.8127606 6.33E-04 0.0010352 39.5912
26 265.1333267 9.96E-04 0.001883316 38.8431
27 287.3026153 9.78E-04 0.000081837 39.932
28 310.4915426 8.95E-04 0.000037076 37.8217
29 334.6344405 9.30E-04 0.000022689 36.3859
30 359.6039463 9.32E-04 0.000063551 36.9349
31 385.5308382 7.67E-04 0.003212699 36.3717
32 412.2612747 6.83E-04 0.000019093 37.3748
33 440.204058 8.47E-04 0.004367617 33.6867
34 468.9048534 8.83E-04 0.0000608 33.2723
35 498.569873 7.91E-04 0.000447648 33.1021
36 529.1224104 1.00E-03 0.000278728 33.098
37 560.6279735 9.99E-04 0.000908617 31.9791
38 593.0489436 8.35E-04 0.001685129 32.2744
39 626.3890092 9.51E-04 0.000023895 32.0511
40 660.6752789 6.97E-04 0.000027044 31.9153
41 695.9167446 9.15E-04 0.000126882 31.5271
42 732.0781077 9.26E-04 0.000036893 31.2439
43 769.1908468 8.91E-04 0.000470653 30.8642
44 807.1742634 8.18E-04 0.000065605 31.2563
45 846.1884023 9.95E-04 0.000045083 30.2032
46 886.1671139 9.58E-04 0.000079034 29.7872
47 927.0592707 8.31E-04 0.002512756 28.7859
48 968.7134556 9.05E-04 0.000078405 29.6876
49 1011.557183 9.07E-04 0.001510876 28.3867
50 1055.182315 9.08E-04 0.000045551 28.7106
51 1099.819291 8.99E-04 0.00005616 28.1644
52 1145.437598 9.20E-04 0.002198567 27.5248
53 1191.922291 8.48E-04 0.000286872 27.1367
54 1239.365256 9.23E-04 0.000035453 27.2437
55 1287.777028 9.35E-04 0.000123904 26.44
56 1337.098728 9.05E-04 0.000275308 26.6502
57 1387.38323 9.42E-04 0.000071184 26.7005
58 1438.625509 9.45E-04 0.000065186 26.0896
59 1490.774386 8.59E-04 0.000643849 26.1763
60 1543.830401 9.18E-04 0.000034141 25.9573
61 1597.94183 9.49E-04 0.001084042 25.3933
62 1652.90941 9.30E-04 0.000025501 25.8789
63 1708.879682 7.48E-04 0.000034641 25.2564
64 1765.802578 8.49E-04 0.000032548 24.9195
65 1823.66796 9.25E-04 0.000463744 24.526
66 1882.441527 9.46E-04 0.00076463 24.7686
67 1942.122701 9.19E-04 0.000031871 24.7267
68 2002.882948 8.56E-04 0.000018144 24.189
69 2064.536066 8.20E-04 0.000023269 24.3542
70 2127.116281 9.44E-04 0.000265252 23.8251
71 2190.649907 8.31E-04 0.001257823 23.8023
72 2255.001191 9.55E-04 0.000023196 24.4906
73 2320.633884 9.91E-04 0.001548066 22.8096
74 2387.072982 9.81E-04 0.000643888 22.9654
75 2454.369689 7.97E-04 0.000017166 22.7362
76 2522.674872 9.97E-04 0.000957255 22.8855
77 2591.850152 8.98E-04 0.000017644 23.2858
78 2662.047213 9.92E-04 0.000035283 23.1795
79 2733.248358 8.94E-04 0.000677208 22.6359
80 2805.355876 8.72E-04 0.000004556 22.7775
81 2878.585336 9.22E-04 0.000754063 21.4703
82 2952.574785 9.43E-04 0.000075792 21.49
83 3027.541377 7.94E-04 0.000130529 21.6395
84 3103.465125 9.40E-04 0.000370996 21.5127
85 3180.380065 9.91E-04 0.001014999 21.2729
86 3258.24156 8.21E-04 0.00130123 21.3604
87 3337.025029 9.10E-04 0.000734842 21.187
88 3416.720197 8.42E-04 0.000021689 21.4856
89 3497.439019 9.34E-04 0.000078556 21.1817
90 3579.128462 9.68E-04 0.000039781 21.0299
91 3661.713699 8.11E-04 0.00002322 21.1046
92 3745.291637 1.00E-03 0.000118942 21.0261
93 3829.844339 8.99E-04 0.000228099 20.7507
94 3915.428904 9.76E-04 0.000808791 20.3094
95 4001.771676 9.81E-04 0.000126853 20.7107
96 4089.15401 9.44E-04 0.000041448 20.6855
97 4177.5336 9.25E-04 0.000100388 20.449
98 4266.992906 9.89E-04 0.001836824 19.8413
99 4357.139163 9.47E-04 0.000150249 20.2844
100 4448.447208 9.01E-04 0.00063249 19.8545
101 4540.682333 9.39E-04 0.00169281 19.7095
102 4633.736566 9.99E-04 0.00001108 20.0397
103 4727.836617 8.70E-04 0.000209048 19.9069
104 4822.880318 8.17E-04 0.000016244 19.8463
105 4919.013552 8.42E-04 0.000465779 19.2877
106 5016.031886 9.75E-04 0.00019493 19.352
107 5113.97385 7.93E-04 0.000213872 19.3877
108 5212.972522 9.74E-04 0.001024705 19.1951
109 5312.797155 8.58E-04 0.000080488 18.9645
110 5413.663501 9.40E-04 0.000453326 18.8912
111 5515.426953 9.50E-04 0.000604319 18.9052
112 5618.198765 9.16E-04 0.001009648 18.7521
113 5721.843254 8.93E-04 0.000258636 18.8315
114 5826.594788 9.46E-04 0.000718642 18.5486
115 5932.209186 9.99E-04 0.000447803 18.4735
116 6038.822059 9.72E-04 0.000460807 18.5207
117 6146.403784 8.81E-04 0.000533807 18.5297
118 6254.940603 8.95E-04 0.000148562 18.3713
119 6364.347318 8.95E-04 0.000679954 18.3362
120 6474.771177 9.18E-04 0.000494872 18.2566
121 6586.12195 9.28E-04 0.000842058 18.1986
122 6698.552514 9.90E-04 0.00002955 18.2435
123 6811.95132 8.91E-04 0.000329244 17.9466
124 6926.206238 9.70E-04 0.000177769 17.9645
125 7041.544226 8.51E-04 0.000739011 17.6145
126 7157.723534 9.83E-04 0.000327666 17.7972
127 7274.959657 9.74E-04 0.000329941 17.6615
128 7393.07328 9.05E-04 0.00099235 17.4537
129 7512.205413 9.16E-04 0.000548347 17.3657
130 7632.483967 8.45E-04 0.001469778 17.0184
131 7753.231607 8.31E-04 0.000599404 17.4757
132 7875.262339 9.50E-04 0.000426421 17.4248
133 7998.283886 9.83E-04 0.000085833 17.1681
134 8122.214801 9.63E-04 0.00059971 17.1739
135 8247.026136 9.60E-04 0.000778504 17.2173
136 8372.879532 9.86E-04 0.001068113 17.1644
137 8499.534495 8.62E-04 0.00003101 17.56
138 8627.40639 9.92E-04 0.000482132 16.924
139 8756.29732 9.69E-04 0.001314118 16.5774
140 8885.980609 8.83E-04 0.000644792 16.7727
141 9016.615349 9.98E-04 0.000370406 16.9618
142 9148.285465 8.70E-04 0.000438776 16.6603
143 9280.839851 8.95E-04 0.000285067 16.7826
144 9414.540734 9.59E-04 0.001530634 16.304
145 9548.928837 9.00E-04 0.00010292 16.8408
146 9684.590878 8.52E-04 0.00079336 16.3254
147 9820.980091 9.41E-04 0.000267099 16.4352
148 9958.476059 9.60E-04 0.000334206 16.3265
149 10096.92115 9.67E-04 0.000475892 16.0888
150 10236.31802 8.85E-04 0.000209858 16.1824
151 10376.61574 9.76E-04 0.000283455 16.0209
152 10517.97181 8.64E-04 0.000411334 16.0538
153 10660.31173 8.25E-04 0.000402913 15.912
154 10803.50132 8.53E-04 0.000644941 16.0151
155 10947.65732 9.32E-04 0.000688007 15.8989
156 11092.90629 9.96E-04 0.001068636 15.7865
157 11238.95656 8.13E-04 0.000946722 15.8821
158 11386.23634 9.31E-04 0.001569077 15.3337
159 11534.17547 8.30E-04 0.001010867 15.8026
160 11683.17598 9.15E-04 0.00044577 15.7538
161 11833.25592 9.27E-04 0.000181797 15.6888
162 11984.24147 9.86E-04 0.001119596 15.4574
163 12136.07206 9.67E-04 0.000088466 15.6946
164 12289.09879 9.31E-04 0.000726486 15.3257
165 12442.9602 9.76E-04 0.001036973 15.2262
166 12597.67855 9.97E-04 0.000171126 15.561
167 12753.57247 9.79E-04 0.000409163 15.3491
168 12910.4371 8.59E-04 0.001207486 15.1442
169 13068.21483 9.91E-04 0.001611394 15.1396
170 13226.84517 8.91E-04 0.000862039 15.1705
171 13386.44845 8.62E-04 0.000343971 15.2531
172 13547.1693 8.93E-04 0.001004294 14.8904
173 13708.6553 8.89E-04 0.000306993 15.2686
174 13871.36587 9.59E-04 0.00039733 15.0091
175 14034.87141 9.41E-04 0.000254665 15.1097
176 14199.35478 9.44E-04 0.000289446 15.1014
177 14364.87493 9.75E-04 0.000060594 15.0586
178 14531.31735 8.68E-04 0.000013284 15.0668
179 14698.77146 9.76E-04 0.000264358 14.9846
180 14867.24196 9.45E-04 0.000697397 14.6839
181 15036.46724 9.98E-04 0.000303783 15.0017
182 15206.99363 8.63E-04 0.000624071 14.5804
183 15378.28579 8.70E-04 0.000329199 14.6756
184 15550.61379 8.99E-04 0.001080615 14.4291
185 15723.90923 9.82E-04 0.001456709 14.3743
186 15897.95833 9.89E-04 0.000201546 14.7112
187 16073.13085 9.30E-04 0.000282113 14.7844
188 16249.49245 8.65E-04 0.001278768 14.2411
189 16426.58129 9.96E-04 0.0005927 14.3902
190 16604.89047 9.08E-04 0.001290256 14.2383
191 16783.82561 9.98E-04 0.000776118 14.2492
192 16963.79415 8.54E-04 0.000396276 14.233
193 17145.07911 8.57E-04 0.001599475 13.8524
194 17327.06825 9.60E-04 0.001157914 13.9972
195 17509.76744 9.43E-04 0.000580148 14.0477
196 17693.62671 9.98E-04 0.000809977 14.2105
197 17878.50953 8.62E-04 0.000581667 14.058
198 18064.33208 8.88E-04 0.000584914 14.0118
199 18251.17756 9.27E-04 0.000370331 14.1589
200 18438.94719 8.93E-04 0.000543277 14.02
201 18627.78002 9.65E-04 0.000679634 14.0651
202 18817.47893 9.68E-04 0.00059027 13.952
203 19008.34108 9.83E-04 0.001052503 13.5587
204 19199.95305 9.26E-04 0.000867168 13.8818
205 19392.50504 9.05E-04 0.000655271 13.8955
206 19586.34949 9.15E-04 0.000838013 13.6173
207 19780.76799 9.40E-04 0.0010073 13.6868
208 19976.25927 8.91E-04 0.000934009 13.7834
209 20172.83029 9.65E-04 0.000344581 13.79
210 20370.44618 9.79E-04 0.000510779 13.6233
211 20568.79167 9.38E-04 0.000264173 13.7433
212 20768.22989 9.57E-04 0.000283614 13.6985
213 20969.03747 9.17E-04 0.002025161 13.1978
214 21170.27213 9.61E-04 0.001282555 13.4768
215 21372.85152 9.40E-04 0.001874426 13.2331
216 21576.0023 9.75E-04 0.000808941 13.472
217 21780.07862 9.48E-04 0.000757428 13.5227
218 21985.36432 9.27E-04 0.000502697 13.4813
219 22191.77833 9.03E-04 0.000675373 13.3733
220 22398.72383 9.83E-04 0.000182567 13.5471
221 22606.90303 9.16E-04 0.000192928 13.4478
222 22816.05448 9.74E-04 0.000048825 13.5169
223 23026.4355 9.49E-04 0.000960076 13.2184
224 23237.60525 9.93E-04 0.00120317 13.1566
225 23449.75184 8.74E-04 0.001159256 13.159
226 23662.77875 9.30E-04 0.000817078 13.0294
227 23876.89885 9.60E-04 0.001235062 13.0562
228 24091.89243 9.88E-04 0.000795834 13.0095
229 24307.67386 9.88E-04 0.000414793 13.1485
230 24524.63828 9.42E-04 0.000493143 13.1545
231 24742.52099 9.94E-04 0.00042189 13.0753
232 24961.44104 9.12E-04 0.000478908 13.0912
233 25181.27227 9.72E-04 0.000757446 12.9656
234 25402.02858 9.87E-04 0.000446894 13.0186
235 25623.9183 8.94E-04 0.000785443 12.9878
236 25846.50056 9.29E-04 0.000090403 13.1643
237 26070.53517 9.02E-04 0.001192817 12.6818
238 26295.2715 9.57E-04 0.000605387 12.8351
239 26521.22969 8.85E-04 0.002413383 12.5082
240 26747.78701 9.77E-04 0.001582647 12.7219
241 26975.49164 9.77E-04 0.000887873 12.5865
242 27204.10035 9.06E-04 0.000848981 12.6426
243 27433.8584 9.47E-04 0.000652514 12.5351
244 27664.2325 9.24E-04 0.001063797 12.6751
245 27896.03572 9.23E-04 0.001542549 12.5232
246 28128.11106 9.04E-04 0.000849407 12.6335
247 28361.75092 9.52E-04 0.000308241 12.6047
248 28596.48082 9.83E-04 0.001515222 12.3129
249 28831.69758 8.85E-04 0.000769865 12.4285
250 29068.18087 9.89E-04 0.000950974 12.3825
251 29305.6031 8.98E-04 0.000780534 12.4452
252 29543.84048 9.68E-04 0.000905621 12.3915
253 29783.0788 9.49E-04 0.000895139 12.4933
254 30023.50687 9.00E-04 0.000773759 12.3899
255 30264.81758 8.96E-04 0.000911659 12.2895
256 30507.07081 8.85E-04 0.000568513 12.3474
257 30750.35427 9.66E-04 0.000486114 12.3066
258 30994.6687 9.25E-04 0.000493186 12.1541
259 31239.78205 8.36E-04 0.000342373 12.19
260 31485.99639 9.33E-04 0.000701983 12.2487
261 31732.91656 9.98E-04 0.000209112 12.0998
262 31981.34303 9.78E-04 0.000733645 12.0367
263 32230.14125 9.94E-04 0.0006333 12.0804
264 32480.46108 9.09E-04 0.000740793 12.0043
265 32731.53228 9.89E-04 0.000762717 11.9983
266 32983.50221 9.99E-04 0.000746862 11.9611
267 33236.18448 9.15E-04 0.000412081 11.9523
268 33490.0046 8.81E-04 0.000792082 11.8987
269 33745.20278 7.62E-04 0.000393181 11.9162
270 34001.08426 9.98E-04 0.000180393 11.9002
271 34258.10858 9.60E-04 0.000467082 11.8886
272 34515.84156 9.03E-04 0.000761379 11.8134
273 34774.63453 8.15E-04 0.000822691 11.8007
274 35034.43082 9.61E-04 0.000780394 11.8233
275 35295.28444 9.19E-04 0.000760827 11.798
276 35557.22145 9.22E-04 0.002054861 11.5308
277 35819.85356 9.69E-04 0.001118312 11.7539
278 36083.37522 8.36E-04 0.000340393 11.7605
279 36347.9811 9.44E-04 0.000277508 11.9446
280 36613.73634 9.85E-04 0.001116061 11.6519
281 36880.33627 9.08E-04 0.000649927 11.8322
282 37147.99302 8.88E-04 0.000790584 11.7365
283 37416.31563 9.92E-04 0.000322605 11.8443
284 37685.93673 9.55E-04 0.001158016 11.7094
285 37956.73434 9.84E-04 0.000800783 11.6227
286 38228.18319 9.45E-04 0.001222162 11.6274
287 38500.62445 9.50E-04 0.000797695 11.6126
288 38774.14051 9.85E-04 0.000420243 11.5441
289 39048.33283 9.83E-04 0.001262516 11.5367
290 39323.94109 8.57E-04 0.001133885 11.3952
291 39600.32044 9.49E-04 0.000998178 11.4865
292 39877.50869 9.67E-04 0.000746684 11.527
293 40155.77287 9.84E-04 0.000687827 11.5098
294 40435.38616 7.64E-04 0.002294795 11.4061
295 40715.29938 8.68E-04 0.000357154 11.3919
296 40996.55033 9.60E-04 0.001078414 11.4823
297 41278.87045 9.71E-04 0.000844417 11.4938
298 41562.07802 7.36E-04 0.000711351 11.4485
299 41846.3527 9.45E-04 0.000618214 11.4339
300 42131.56718 9.57E-04 0.000703482 11.4167





opening 15.11.2009    © math-lab.ru    All rights reserved.

  Яндекс цитирования
  Rambler's Top100
 
  Яндекс.Метрика
  Locations of visitors to this page